Теоретико-множественные операции реляционной алгебры

Объединением двух отношении называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.

Пусть заданы два отношения R1 = { r1 } , R2 = { r2 }. где r1 и r2 — соответственно кортежи отношений R1 и R2, то объединение

R2 = { г | г

R2 }. Здесь r — кортеж нового отношения,

— операция логического сложения «ИЛИ».

Пример применения операции объединения приведен па рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R1 и R2, которые содержат перечни деталей. изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R3 содержит общин перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.

R1
Шифр детали		Название детали
00011073		Гаика Ml
00011075		Гайка М2
00011076		Гаика M3
00011003		Болт Ml
00011006		Болт МЗ
00013063		Шайба Ml
00013066		Шайба МЗ

R2
Шифр детали		Название детали
00011073		Гайка М1
00011076		Гайка М3
00011077		Гайка М4
00011004		Гайка М2
00011006		Гайка М3

R3
Шифр детали		Название детали
00011073		Гайка Ml
00011075		Гайка М2
00011076		Гайка МЗ
00011003		Болт Ml
00011006		Болт МЗ
00013063		Шайба Ml
00013066		Шайба МЗ
00011077		Гайка М4
00011004		Болт М2

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R1 и R2:

R3 = R1

R2={ г | r

R1 ^ г

R2 }, здесь ^ — операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R4 содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4
Шифр детали		Название детали
00011073		Гайка Ml
00011076		Гайка МЗ
00011006		Болт МЗ

Разностью отношений R1 и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2:

R5 = RI \ R2 = { г | r

R1 ^ r

R2 }

Отношение R5 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение RG содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R6 = R2 \ R1 = { r | r

R2 ^ r

R1 }

R5
Шифр детали	Название детали
00011075	Гайка М2
00011003	Болт Ml
00013063	Шайба Ml
00013066	Шайба МЗ

R6
Шифр детали	Название детали
00011077	Гайка М4
00011004	Болт М2

R3
Шифр детали	Название детали
00011073	Гайка Ml
00011075	Гайка М2
00011076	Гайка МЗ
00011003	Болт Ml
00011006	Болт МЗ
00013063	Шайба Ml
00013066	Шайба МЗ
00011077	Гайка М4
00011004	Болт М2

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R1 и R2:

R3 = R1

R2 ={ r | r

R1 ^ r

R2 }

здесь ^— операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R4 содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4
Шифр детали	Название детали
00011073	Гайка M1
00011076	Гайка МЗ
00011006	Болт МЗ

Разностью отношений R, и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2:

R5 = R1 \ R2 = { r | r

R1 ^ г

R2 }

Отношение R5 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R6 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R6 = R2 \ R1 = { r | r

R2 ^ r

R1 }

R5
Шифр детали	Название детали
00011075	Гайка М2
00011003	Бол г M1
00013063	Шайба M1
00013066	Шайба МЗ

R6
Шифр детали	Название детали
00011077	Гайка М4
00011004	Болт М2

Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R5 и R6.

В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико-графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.

Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример — уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R1 R2 и R3. Все они имеют эквивалентные схемы.

R1= (ФИО, Паспорт, Школа);

R2= (ФИО, Паспорт, Школа);

R3= (ФИО, Паспорт, Школа).

Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R1 содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение, R2 содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R3 содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.

Ответим на следующие вопросы:

Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз. R = R1

R2 \ R3

Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз. R = (R1 \ R2

R3 )

(R2 \ R1

R3)

Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.

Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R1 и R2, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R3, потому что они поступили.

R = R1

Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.

Это прежде всего те абитуриенты; которые присутствуют в R1 и не присутствуют в R2, и те, кто присутствуют в R2 и не присутствуют в R1. И разумеется, никто из них не присутствует в R3. R = (R1 \ R2)

(R2 \ R1) \ R3

В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R3.

Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

Кроме перечисленных трех теоретико-множественных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция — расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R1 ® R2, допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.

Сцеплением, пли конкатенацией, кортежей с = <c1, с2, ..., сn> и q = <q1, q2, ..., qm> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей с и q обозначается как (с , q).

(с, q) = <с1 с2, ... , сn, q1, q2, .... qm>

Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q.

Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений — это следует из определения эквивалентности схем отношений. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.

Расширенным декартовым произведением отношения R, степени n со схемой

SR1=(А1,А2...,Аn) и отношения R2 степени m со схемой

SR2=(В1,В2, ... , Вm) называется отношение R3 степени n+m со схемой

SR3 = (А1, А2, ... , Аn, В1, В2, ..., Вm),

содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа г отношения R] с каждым кортежем q отношения R2.

То есть если R1 = { r }, R2 = { q }

R1

R2 = {(r, q) | r

R1 ^ q

R2}

Операцию декартова произведения с учетом возможности перестановки атрибутов в отношении можно считать симметричной. Очень часто операция расширенного декартова произведения используется для получения некоторого универсума — т. е. отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств. Однако самостоятельного значения результат выполнения операции обычно не имеет, он участвует в дальнейшей обработке. Например, на производстве в отношении 07 задана обязательная номенклатура деталей для всех цехов, а в отношении 08 дан перечень всех цехов.

R7
Шифр детали	Название детали
00011073	Гайка M1
00011075	Гайка М2
00011076	Гайка МЗ
00011003	Болт М1
00011006	Болт МЗ
00013063	Шайба Ml
00013066	Шайба МЗ
00011077	Гайка М4
000ll004	Болт М2
00011005	Болт М5
00011006	Болт М6
00013062	Шайба М2

Цех

Цех 1

Цех 2

Цех 3

Тогда отношение R9, которое соответствует ситуации, когда каждый цех изготавливает все требуемые детали, будет выглядеть следующим образом:

R9
Шифр детали	Название детали	Цех
00011073	Гайка Ml	Цех 1
00011075	Гайка М2	Цех 1
00011076	Гайка МЗ	Цех 1
00011003	Болт Ml	Цех 1
00011006	Болт МЗ	Цех 1
00013063	Шайба Ml	Цех 1
00013066	Шайба МЗ	Цех 1
00011077	Гайка М4	Цех 1
00011004	Болт М2	Цех 1
00011005	Болт М5	Цех 1
00011006	Болт Мб	Цех 1
00013062	Шайба М2	Цех 1
00011073	Гайка Ml	Цех 2
00011075	Ганка М2	Цех 2

R10
Шифр	Название детали	Цех
00011073	Гайка Ml	Цех 1
(МО И 075 000 11 076	Гайка М2 Гайка МЗ	Цех 1 Цех 1
000 11 003	! Болт Ml	Цех 1
0011 0006	Болт МЗ	Цех 1
00013063	Шайба Ml	Цех 1
000 11060	Шайба МЗ	Цех 1
000 11 004	Болт М2	Цех 1
00011077	Гайка М4	Цех 1
00011006	Болт МЗ	Цех2
00013063	Шайба Ml	Цех 2
0013066	Шайба МЗ	Цех 2
00011077	Гайка М4	Цех 2
0001 0778	Болт М2	Цех 2

<

/p>

00011076	Гайка МЗ	Цех 2
00011U03	Болт Ml	Цех 2
00011006	Болт МЗ	Цех 2
00013063	Шайба Ml	Цех 2
00013066	Шайба МЗ	Цех 2
00011077	Гайка М4	Цех 2
00011004	Болт М'2	Цех 2
00011005	Болт М5	Цех 2
00011006	Болт Мб	Цех 2
00013062	Шайба М2	Цех 2
00011073	Гайка Ml	ЦсхЗ
00011075	Гайка М2	ЦехЗ
00011076	Гайка МЗ	Цех 3
00011003	Болт Ml	ЦехЗ
00011006	Болт МЗ	ЦехЗ
00013063	Шайба Ml	Цех 3
00013066	Шайба МЗ	ЦехЗ
00011077	Гайка М4	ЦехЗ
00011004	Болт М2	Цех 3
00011005	Болт М5	ЦехЗ
00011006	Болт Мб	ЦехЗ
00013062	Шайба М2	ЦехЗ

00011006	Болт Мб	Цех 2
00013062	Шайба М2	Цех 2
00011073	Гайка Ml	ЦeхЗ
00011075	Гайка М2	ЦехЗ
00011076	Гайка МЗ	ЦехЗ
00011003	Болт Ml	ЦехЗ
00011006	Болт МЗ	Цех 3
00013063	Шайба Ml	Цех 3
00013066	Шайба МЗ	ЦехЗ
00011077	Гайка М4	Цeх3
00011005	Болт М5	Цех3
00011006	Болт Мб	Цех3
00011005	Болт М5	Цех 1
00011006	Болт Мб	Цех 1
00013062	Шайба М2	Цех1

В каких запросах нужно использовать расширенное декартово произведение? Эта операция моделирует некоторую ситуацию, которая характеризуется словом «все». Поэтому если нам надо узнать, какие детали в каких цехах из общей обязательной номенклатуры не выпускаются, то мы можем вычесть из полученного отношения R9 отношение R10, характеризующее реальный выпуск деталей в каждом цехе.

Отношение R11, которое является результатом выполнения этой операции, имеет вид:

R11 = R9 \ R10

R11
Шифр детали	Название детали	Цех
00011073	Гайка Ml	Цех 2
00011075	Гайка М2	Цех 2
00011076	Гайка МЗ	Цех 2
00011004	Болт М2	ЦехЗ
00013062	Шайба М2	ЦехЗ
00011003	Болт Ml	Цех 2
00011005	Болт М5	ЦехЗ

Группа теоретико-множественных операций избыточна, так, например, операцию можно заменить сочетанием операций объединения и пересечения.

(R1

R2) \ (R1 \ R2) \ (R2 \ R1)

Однако это достаточно сложная формула, и именно поэтому все три теоретико-множественные операции вошли в базовый набор операций реляционной алгебры.

Далее мы переходим к группе операций, названных специальными операциями реляционной алгебры.

Содержание раздела